Las tangencias son muy útiles cada vez que se quieren formar figuras en las que se mezclen arcos entre sí o con rectas. Con las tangencias se calculan los engranajes de las máquinas y la longitud de las correas de transmisión. También se usan mucho con fines decorativos y de diseño, y cada vez que queremos trazar alguna figura con formas suaves.
Dos figuras son tangentes cuando, al tocarse, las dos líneas tienen la misma dirección. El punto donde se tocan las figuras se llama Punto de Tangencia (Figura de debajo).
En el ejemplo de la Figura de arriba, las dos figuras que se tocan (ya sean arcos o rectas) sólo son tangentes si en el punto de encuentro la dirección no cambia.
Normalmente, cuando se habla de figuras tangentes, se habla de circunferencias, arcos (trozos de circunferencias), rectas, segmentos de recta y también puntos. Una recta o arco se dice que es tangente a un punto cuando pasa por él, porque no hay, naturalmente, ningún cambio de dirección al tocarlo.
Comenzaremos explicando dos leyes fundamentales en las tangencias:
1. Una recta tangente a una circunferencia siempre es perpendicular a la línea que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia.
2. Dos circunferencias tangentes tienen siempre el punto de tangencia y sus dos centros en la misma recta.
Basándonos en estas dos leyes, vamos a hacer algunos ejercicios básicos de tangencias:
Trazar una recta tangente a una circunferencia por un punto T que pertenece a ella.
El punto T por el que va a pasar la recta es, evidentemente, el punto de tangencia, por tanto, sabemos que la recta que queremos trazar va a ser perpendicular a la que pasa por el centro (C) de la circunferencia y por el punto P. Por tanto:
(1 y 2) Los datos que nos dan son: una circunferencia y un punto de ella T. Se traza una recta que pasa por T y por C.
(3 y 4) Con el método que ya hemos aprendido en temas anteriores, se traza la perpendicular a esa recta que pasa por T. La recta perpendicular es la que nos pedían.
Trazar una circunferencia de radio R tangente y exterior a otra dada por un punto T que pertenece a ella.
(1) En este caso los datos son los mismos, pero nos piden una circunferencia en lugar de una recta. Para hacer la circunferencia nos dan su radio.
(2) Como en el ejercicio anterior, trazamos la recta que pasa por el centro y por el punto T.
(3 y 4)Tomando la distancia R con el compás, se pincha en T y se traza un arco que corte a la recta en un punto (D). En ese punto, y con la misma abertura de compás, se trazará la circunferencia que nos pedían.
Trazar una circunferencia tangente a otra dada por el punto T y que pase por el punto A.
(1 y 2) Nos dan una circunferencia de centro C, un punto T que pertenece a ella, y un punto exterior A. Trazamos la recta que une a C con T, puesto que sabemos que el centro de la circunferencia tangente que nos piden debe estar en esa recta, como hemos explicado.
(3) Como el centro de la circunferencia que nos piden debe de estar a la misma distancia de T que de A ( puesto que la circunferencia debe pasar por los dos), hallamos la mediatriz de los puntos A y T.
(4) La mediatriz cortará a la recta que pasa por C y T en un punto (B). Ese punto es el centro de la circunferencia que buscamos. Pinchando en B, se traza la circunferencia pasando por T.
Enlazar mediante arcos tangentes entre sí un número indeterminado de puntos.
Este ejercicio es, en realidad, el mismo que el anterior, sólo que se repite con el punto siguiente, y así hasta el final. El truco está en tener claro cuales son los datos de los que se parten para hacer el siguiente paso y no confundirse.
(1 y 2) Nos dan una serie de puntos (A,B,C y D). Enlazaremos con un arco cualquiera los dos primeros puntos (A y B). Para ello trazamos su mediatriz y cogemos un punto cualquiera de ella. Haciendo centro en él trazamos el primer arco desde A hasta B.
(3) Ahora enlazaremos, con el método del ejercicio anterior, este arco con otro tangente y que pase por el punto siguiente. Para ello actuaremos como si el arco que pasa por A y B fuese una circunferencia completa (en realidad da lo mismo). Actuamos paso por paso como en el ejercicio anterior y trazamos el arco que pasa por B y C.
(4) Ahora es el arco BC el que habrá que enlazar con D mediante otro arco tangente. Tendremos cuidado de tomar el centro del arco BC y no confundirlo con otros antes de repetir paso por paso el ejercicio anterior.
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