Los trazados básicos con regla y compás se llaman así porque no necesitan plantillas (escuadra y cartabón) para poder realizarse, tan sólo son necesarios los instrumentos indicados en su mismo nombre. La regla y el compás tienen la particularidad de poder ser sustituidos para distancias medias por una cinta métrica y una tiza. Esto hace que estos ejercicios se apliquen en la construcción arquitectónica, trazado de campos de deporte, medición de terrenos, etc.
Trazar la mediatriz de un segmento.
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a éste y que pasa por su mitad. Esta definición es correcta, pero hay otra más útil, que puede utilizarse para resolver problemas de geometría y la que se usa para construirse. Según esta definición, mediatriz de un segmento es la línea que forman todos los puntos que están a la misma distancia de los dos extremos del segmento.
Al trazar dos arcos de igual abertura desde los extremos del segmento, los dos puntos donde se cortan pertenecerían a la mediatriz puesto que están a la misma distancia (la abertura) de los dos extremos. Si hiciéramos lo mismo aumentando la abertura en ambos arcos tendríamos una recta, que sería la mediatriz. En la práctica basta con hallar dos puntos y trazar la línea.
(1 y 2) Los datos son dos puntos que marcan el segmento (A y B). Se traza un arco con centro en A y un radio cualquiera que sobrepase la mitad del segmento. Es conveniente un radio grande, ya que mientras mayor sea, más precisa será la mediatriz.
(3) Con ese mismo radio se traza un arco con centro en B.
(4) Se traza la recta que pasa por donde se cortan los dos arcos. Esta recta es la mediatriz del segmento que forman los puntos. La mediatriz es una recta, no un segmento. Esto significa que es infinitamente larga, y por eso sobrepasa los arcos.
Trazar una perpendicular a una recta por un punto.
Este ejercicio es bastante común en la construcción, pues sirve para trazar casi todas las perpendiculares. Una aplicación práctica sería, por ejemplo, la de hallar la distancia mínima entre un pozo (punto) y una acequia cercana (recta ) para riegos.
Al trazar un arco que corte en dos a la recta, estamos cogiendo dos puntos que están a la misma distancia (la abertura del compás) del punto P. La mediatriz de esos dos puntos forzosamente ha de pasar por el centro, ya que es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de los extremos. Además, la mediatriz es perpendicular al segmento, con lo que conseguimos una recta que pasa por P y es perpendicular a otra.
(1) Los datos necesarios son una recta (R) y un punto (P). En este caso es exterior a la recta. Esto quiere decir que no está en la recta, sino fuera de ella.
(2) Se traza un arco con centro en P que corte en dos puntos (A y B) a la recta.
(3 y 4) Se traza la mediatriz de A y B, que es la perpendicular que buscamos ya que pasa forzosamente por P, al estar éste a la misma distancia de A y de B.
El ejercicio es similar cuando el punto P pertenece a la recta. En ese caso el arco que se usa para hallar A y B sería una semicircunferencia.
Trazar una paralela a una recta por un punto exterior a ella.
Este ejercicio es complementario del anterior, e igualmente útil. Lo que se va a hacer en realidad es construir dos triángulos iguales pero opuestos, de forma que el punto D es el opuesto a P. Por tanto su distancia a la recta R es la misma, y la línea que pasa por los dos, por tanto, es paralela a R.
(1) Los datos son: una recta (R) y un punto exterior a ella (P). El punto debe ser exterior, puesto que una recta paralela a R que pase por un punto que esté en ella es la misma recta.
(2) Se escoge un punto cualquiera de la recta (A), que no esté demasiado cerca del punto P. Pinchando en A se traza un arco que pase por P y corte a la recta en un punto (B).
(3) Con el mismo radio, y con centro en P, se traza otro arco que pase por A y que tenga una longitud similar al anterior.
(4) Se toma con el compás la distancia entre P y B y con centro en A se traza un arco que corte al anterior en D.
(5) Se unen con una recta los puntos D y P. Esta recta es paralela a R y pasa por P.
2.4. Trazar una perpendicular a una semirecta por un extremo.
En la práctica, hay algunos casos donde nos interesa hallar la perpendicular a una recta por su extremo, y no podemos acceder al terreno o papel situado al otro lado por cualquier motivo. Un ejemplo sería trazar una perpendicular junto a unos terrenos ya construidos.
Utilizaremos un teorema que dice que si trazamos desde cualquier punto de una semicircunferencia dos líneas que van a sus extremos, esas líneas formarán siempre un ángulo recto. Observa que B y C son los extremos de una semicircunferencia, y S está dentro de ella. Desde S hemos trazado rectas hacia ellos, por tanto el ángulo que forman es recto.
(1) El dato necesario es una semirecta, con su extremo S. En la realidad, donde no existen las rectas infinitas, una semirecta significa que en una línea solo nos interesa un extremo.
(2) Pinchando en un punto cualquiera (A) exterior a la semirecta se traza una circunferencia que pase por el extremo (S) de la semirecta. La circunferencia la cortará en otro punto (B).
(3) Se traza una recta que pase por B y por el punto A, y se prolonga hasta que vuelva a cortar a la circunferencia en un punto (C).
(4) Se traza una recta que pase por el extremo (S) de la semirecta y por C, que será la perpendicular que buscamos.
Se adjunta un fichero en formato PDF con los ejercicios para el alumno correspondientes a este tema. IR AL INICIO.
